2015年5月3日 星期日

Durbin-Watson檢定與LM檢定的存在意義

每一本統計學、計量經濟學、時間序列分析、迴歸分析、市場預測的書籍都會提到資料自我相關問題。為了找到資料的自我相關性,有的學者從樣本相關係數出發進行資料的假設檢定,有的學者則是創造與樣本相關係數很相近的數學公式進行資料的假設檢定,其中,最知名的便是Durbin-Watson檢定與LM檢定(Breusch–Godfrey)。兩個檢定公式的出發點都是一樣的,那就是從迴歸分析的殘差出發。

Durbin-Watson檢定公式

LM檢定公式
從資料角度去看,無庸置疑的是資料的數值都是已知的,我們使用迴歸分析來瞭解資料間的因果關係。換言之,此時,解釋變數與被解釋變數之間是樣本條件關係。然而,我們卻遺忘了一件事情,那就是資料也是可以形成分配的,那就是抽樣分配。

既然資料可形成抽樣分配,這意味著解釋變數與被解釋變數都是抽樣分配,需要以分配的概念去解讀。於是,在統計學內就明確寫著:
  1. 每個樣本服從母體分配
  2. 樣本的變異數一樣都是母體變異數
  3. 樣本之間是無線性相關

同樣在迴歸分析的解釋變數、被解釋變數與誤差都有各自的母體分配,並且滿足上面的三個條件。同時解釋變數與被解釋變數之間可以是聯合關係,也可以是條件關係。

進一步推導所得到的係數、殘差、甚至是殘差的數學組合、變異數分析表內的SSR、SSE、MSR、MSE、自我相關係數都是抽樣分配。

請注意,這些都是隨機變數或隨機變數的數學組合,所以都是抽樣分配(只討論一個數字,不是分配)。當樣本數夠大時,才能夠代表母體分配(樣本要多大,沒人知道)。

所以要使用公式前,問問:
  1. 你確定資料的抽樣分配了嗎?
  2. 你確定資料的抽樣分配轉換過程了嗎?(是數值的亂數表,不是機率生成的亂數表)
  3. 隨機變數的數學組合之間有沒有成為函數關係?(例如自我相關係數與MSE)

當我們確定每一個轉換步驟狀況後,就可以觀察到解釋變數數值、解釋變數個數、誤差母體分配、樣本數、殘差限制對Durbin-Watson檢定與LM檢定的抽樣分配變化。

確實,Durbin-Watson檢定適合所有樣本大小,但是Durbin-Watson檢定的決策規則本身有問題,不符合統計公式的原則,那就是灰色地帶判定給虛無假設,因此只有虛無與對立假設的二分法,以及分配的臨界值只會有一個數字,而不會有所謂的上下界。除非沒有控制住解釋變數數值與殘差限制影響,才會讓這兩個影響融入分配當中,造成臨界值的不確定,產生了帶狀區間。

Durbin-Watson檢定的抽樣分配在小樣本的時候變化很大,從arcsin分配轉變成近似梯形,再轉變至常態分配的過程,在在影響檢定的準確性。而且當自由度超過200後,可以捨Durbin-Watson檢定表而改由Z檢定表進行假設檢定(Lee, 2013於台灣計量經濟學會年會上報告,2014投稿國外期刊under review)。

不過,LM檢定就有趣了。
LM檢定公式內,主要的變數就是R平方。
試問,孰有在國際期刊上見過討論R平方的抽樣分配,並且顯示出來?
當R平方在不同自我相關係數下之抽樣分配呈現出來後,可以發現在自我相關係數為0附近,R平方抽樣分配的期望值竟是相差無異,若使用於LM檢定上,這代表明明資料有自我相關,卻檢定出無自我相關

這看似很小的失誤,若是用在財務金融上呢?若是用在政府發行的債券上呢?若是用在央行發行的貨幣量上呢?若是用來勞動部估算用的假設上呢?

你說會發生怎樣的情況?
雷曼兄弟又怎麼會知道原本設計良好的連動債,會在2007年讓其破產?
美國政府又怎麼會知道原本估計良好的財政問題,會在2013年會面對財政懸崖呢?

LM檢定更是需要在樣本數超過1000以上,才能使用卡方分配,而且自由度的計算上,不是樣本數扣掉落後期數,而是還得加上迴歸分析內的解釋變數個數。


換言之,我們認為Breusch、Godfrey設計出來的數學模式可以去掉解釋變數干擾,卻遺忘了在數學模式當中,仍存在解釋變數(wiki參考),同樣會有作用。

另外,一般國家的總體經濟資料多不足1000筆 (5年的日資料(240天)、20年的週資料、84年的月資料、250年的季資料、1000年的年資料),甚至還有時間不一致問題。因此,在使用資料分析時,皆需要非常小心注意後,才能進行自我相關檢定,而檢定時又遇到上述的問題。

所以在使用檢定公式上,

  1. Durbin-Watson檢定公式與LM檢定公式的相同問題都出在迴歸分析所需要控制的項目上
  2. 同時都有不敏感的問題
  3. 在實證資料的樣本數較少時,Durbin-Watson檢定與LM檢定都是需要獨立的檢定表

同樣也有各自的優點,例如:

  1. Durbin-Watson檢定確定自由度超過200後可以使用Z檢定表
  2. LM檢定的樣本數超過1000後可以使用卡方檢定

任何一種檢定公式都有存在的意義,遑論多數教科書始終未將Durbin-Watson檢定拿掉,同樣,LM檢定也是如此。所以在正確的使用時機使用正確的公式才能提高準確度,降低誤差機會。就如同區間估計有信賴水準,假設檢定有顯著水準一樣,這些都是控制誤差,代表精準地控制不確定性與隨機性。當研究者在使用這些假設檢定公式時,可別忘記,除了假設檢定的顯著水準外,你所使用的檢定表也是有誤差的。